Τρολομαθηματικά

Έστω δύο σύνολα, το Α και το Β. Μέλη του Α είναι οι όροι της ακολουθίας

$n_i\mathrm{=}{n}_{i\mathrm{-}1}+1,n_0\mathrm{=}0$

και τα μέλη του Β είναι οι όροι της ακολουθίας

$n_i\mathrm{=}{n}_{i\mathrm{-}1}+2,n_0\mathrm{=}0$

Οπότε Α = {0,1,2,3,4,...,∞} και Β = {0,2,4,6,...,∞}. Ποιός είναι ο πληθάριθμός τους; Άπειρο θα μου πείτε. Άααας το πάρουμε απ' την άλλη. Ας θέσουμε ένα περιορισμό στις ακολουθίες και να πάρουμε την αναλογία του πληθάριθμου του Α προς το Β ως συνάρτηση.
Έστω ότι οι ακολουθίες τελειώνουν κάποια στιγμή σε έναν φυσικό ζυγό αριθμό, ας πούμε το 10. Δηλαδή:

Πόσα μέλη θα έχουμε σε κάθε σύνολο; Εύκολο, στο Α θα έχουμε 11 και το Β θα έχουμε 6. Γενικεύοντας για έναν οποιοδήποτε ζυγό, ο περιορισμός μας γίνεται

Ο πληθάριθμος του Α θα είναι

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{=}\mathrm{2c}+\mathrm{1, }c\mathrm{\in }\mathrm{\mathbb{N}}$

και ο πληθάριθμος του Β θα είναι

$\begin{array}{c}\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }\mathrm{=}\frac{\mathrm{2c}}{2}+1\mathrm{\Rightarrow }\\ \mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }\mathrm{=}c+\mathrm{1, }c\mathrm{\in }\mathrm{\mathbb{N}}\end{array}$

Οπότε η συνάρτηση που ψάχνουμε τόση ώρα είναι

$f(x)\mathrm{=}\frac{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }}\mathrm{=}\frac{\mathrm{2c}+1}{c+1}$

Για να άρουμε τον περιορισμό που θέσαμε προηγουμένως θα πρέπει να υπολογίσουμε το όριο της συνάρτησης όταν το c τείνει στο άπειρο

$\underset{c\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)\mathrm{=}\underset{c\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{2c}+1}{c+1}\mathrm{=}2$

Οπότε που καταλήγουμε; Ότι όταν είναι και τα δύο άπειρα....

ΤΟ ΕΝΑ ΕΙΝΑΙ 2 ΦΟΡΕΣ ΠΙΟ ΑΠΕΙΡΟ ΑΠΟ ΤΟ ΑΛΛΟ!!!!




ΥΓ: Georg Cantor, άντε και γαμήσου.